Le malo geometrijskih oblik je tako raznolikih kot poligoni. Vključujejo znani trikotnik, kvadrat in peterokotnik, vendar je to šele začetek.
V geometriji je mnogokotnik vsaka dvodimenzionalna oblika, ki izpolnjuje naslednje pogoje:
- Sestavljen je iz treh ali več ravnih črt
- Je zaprt brez odprtin ali prelomov v obliki
- Ima pare črt, ki se povezujejo v vogalih ali ogliščih, kjer tvorijo kote
- Ima enako število stranic in notranjih kotov
Dvodimenzionalno pomeni ravno kot kos papirja. Kocke niso poligoni, ker so tridimenzionalne. Krogi niso poligoni, ker ne vsebujejo ravnih črt.
Posebna vrsta mnogokotnika ima lahko kote, ki niso vsi enaki. V tem primeru se imenuje nepravilen poligon.
O poligonih
Ime poligon prihaja iz dveh grških besed:
- Poly, kar pomeni mnogo
- Gon, kar pomeni kot
Oblike, ki so poligoni
- Trikotnik (trikotnik): 3 stranice
- Tetragon (kvadrat): 4 stranice
- Pentagoni: 5 strani
- Šestkotnik: 6 strani
- Heptagon: 7 strani
- Osmerokotnik: 8 strani
- Nonagon: 9 strani
- Desetokotnik: 10 strani
- Undekagon: 11 strani
- Dodecagons: 12 strani
Kako so poimenovani poligoni
Imena posameznih mnogokotnikov izhajajo iz števila stranic ali vogalov, ki jih ima oblika. Mnogokotniki imajo enako število stranic in vogalov.
Skupno ime za večino poligonov je grška predpona za "stranice", ki je priložena grški besedi za vogal (gon).
Primeri tega za pet- in šeststrane pravilne mnogokotnike so:
- Penta (grško pomeni pet) + gon= pentagon
- Heksa (grško pomeni šest) + gon= šesterokotnik
Ta shema poimenovanja ima izjeme. Predvsem z besedami, ki se pogosteje uporabljajo za nekatere poligone:
- Trikotnik: Uporablja grško predpono Tri, vendar namesto grškega gon latinsko angle Uporablja se. Trigon je pravilno geometrično ime, vendar se redko uporablja.
- Štirikotnik: Izpeljanka iz latinske predpone quadri, , kar pomeni štiri, priloženo besedi stranski,, kar je še ena latinska beseda, ki pomeni stran.
- Kvadrat: Včasih se štiristranski mnogokotnik (kvadrat) imenuje četirikotnik ali štirikotnik.
N-Gons
Poligone z več kot 10 stranicami srečamo redko, vendar sledijo istemu grškemu dogovoru o poimenovanju. Torej se 100-stranski mnogokotnik imenuje hektogon.
Vendar se v matematiki peterokotniki včasih bolj priročno imenujejo n-kotniki:
- 11-kotnik: Hendekagon
- 12-kotnik: Dvanajstkotnik
- 20-gon: Icosagon
- 50-kotnik: Pentecontagon
- 1000-gon: Chiliagon
- 1000000-gon: Megagon
V matematiki se n-kotniki in njihovi primerki z grškim imenom uporabljajo izmenično.
Omejitev poligona
Teoretično število stranic, ki jih lahko ima mnogokotnik, ni omejeno.
Ko se velikost notranjih kotov mnogokotnika povečuje in se dolžine njegovih stranic krajšajo, se mnogokotnik približuje krogu, vendar nikoli ne pride povsem tja.
Razvrščanje poligonov
Navadni ali nepravilni poligoni
Poligoni so razvrščeni glede na to, ali so vsi koti ali stranice enaki ali ne.
- Pravilni mnogokotnik: Vsi koti so enako veliki in vse stranice so enako dolge.
- Nepravilni mnogokotnik: Nima enakih kotov ali stranic enake dolžine.
Konveksni ali konkavni poligoni
Drugi način razvrščanja mnogokotnikov je po velikosti njihovih notranjih kotov.
- Konveksni mnogokotniki: nimajo notranjih kotov, večjih od 180°.
- Konkavni mnogokotniki: imajo vsaj en notranji kot, ki je večji od 180°.
Enostavni ali zapleteni poligoni
Drug način razvrščanja poligonov je način sekanja črt, ki tvorijo mnogokotnik.
- Enostavni poligoni: Črte se povežejo ali sekajo samo enkrat - v ogliščih.
- Kompleksni poligoni: Črte se sekajo več kot enkrat.
Imena zapletenih mnogokotnikov se včasih razlikujejo od imen preprostih mnogokotnikov z enakim številom stranic.
Na primer:
- Pravilen šesterokotnik je šeststranski preprost mnogokotnik.
- Zvezdasti heksagram je šeststranski kompleksen mnogokotnik, ustvarjen s prekrivanjem dveh enakostraničnih trikotnikov.
Pravilo vsote notranjih kotov
Pravilo je vsakič, ko je večkotniku dodana stranica, na primer:
- Od trikotnika do štirikotnika (tri do štiri stranice)
- Od peterokotnika do šesterokotnika (pet do šest stranic)
še 180° se doda skupnemu seštevku notranjih kotov.
To pravilo lahko zapišemo kot formulo:
(n - 2) × 180°
kjer je n enako številu stranic mnogokotnika.
Torej lahko vsoto notranjih kotov za šesterokotnik najdete z uporabo formule:
(6 - 2) × 180°=720°
Koliko trikotnikov je v tem mnogokotniku?
Zgornja formula za notranji kot je izpeljana z razdelitvijo mnogokotnika na trikotnike in to številko lahko najdete z izračunom:
n - 2
V tej formuli je n enako številu stranic mnogokotnika.
Šestkotnik (šest strani) lahko razdelimo na štiri trikotnike (6 - 2), dvanajstkotnik pa na 10 trikotnikov (12 - 2).
Velikost kota za pravilne mnogokotnike
Za pravilne mnogokotnike, v katerih so koti enake velikosti in stranice enako dolge, lahko velikost vsakega kota v mnogokotniku izračunate tako, da skupno velikost kotov (v stopinjah) delite s skupnim številom strani.
Za pravilen šeststranski šestkotnik je vsak kot:
720° ÷ 6=120°
Nekaj dobro znanih poligonov
Dobro znani poligoni vključujejo:
Nosilci
Strešni nosilci so pogosto trikotni. Odvisno od širine in naklona strehe lahko nosilec vključuje enakostranične ali enakokrake trikotnike. Zaradi velike trdnosti se trikotniki uporabljajo pri gradnji mostov in okvirjev koles. Izstopajoči so v Eifflovem stolpu.
Pentagon
Pentagon - sedež Ministrstva za obrambo ZDA - je dobil ime po svoji obliki. Stavba je peterostranski pravilni peterokotnik.
Domači krožnik
Drug dobro znan petstrani pravilni peterokotnik je matična plošča na bejzbolskem diamantu.
Lažni Pentagon
Ogromno nakupovalno središče blizu Šanghaja na Kitajskem je zgrajeno v obliki pravilnega peterokotnika in ga včasih imenujejo Lažni peterokotnik.
Snežinke
Vsaka snežinka se začne kot šesterokotnik, vendar temperatura in vlažnost dodata veje in vitice, tako da je vsaka na koncu videti drugače.
Čebele in ose
Med naravne šesterokotnike spadajo tudi čebelji panji, kjer je vsaka celica v satju, ki jo čebele zgradijo za shranjevanje medu, šestkotna. Gnezda papirnatih os vsebujejo tudi šesterokotne celice, kjer vzgajajo mladiče.
The Giant's Causeway
Šestkotnike najdemo tudi v Giant's Causeway, ki se nahaja na severovzhodnem Irskem. To je naravna kamnina, sestavljena iz približno 40.000 prepletenih baz altnih stebrov, ki so nastali, ko se je lava iz starodavnega vulkanskega izbruha počasi ohlajala.
Oktagon
Oktagon – ime za obroč ali kletko, ki se uporablja v dvobojih Ultimate Fighting Championship (UFC) – je dobil ime po svoji obliki. Je osemstranski pravilni osmerokotnik.
Stop znaki
Znak stop - eden najbolj poznanih prometnih znakov - je še en osemstranski pravilni osmerokotnik. Čeprav se barva, besedilo ali simboli na znaku lahko razlikujejo, se osmerokotna oblika znaka stop uporablja v številnih državah po svetu.